Zarlino

Gioseffo Zarlino « Tutte le cose create da Dio furono da Lui col Numero ordinate »
(Gioseffo Zarlino)

Affermazione di sapore galileiano. Probabilmente non c'è nessun rapporto di diretta filiazione, ma val la pena sapere che Vincenzo Galilei, musicista, padre del più famoso Galileo Galilei, conobbe Zarlino e studiò con lui a Venezia, da lui derivò molte suggestioni e verso la fine della sua vita scrisse un trattato - il Discorso intorno alle opere di Gioseffo Zarlino et altri importanti particolari attenenti alla musica (Firenze, 1589) - in cui entrò in diretto polemico confronto con il rigorismo matematico di quello che un tempo era stato il suo maestro. Vincenzo Galilei affermava, contrariamente a Zarlino, che consonanze e dissonanze non sono tali soltanto perché le prime rispettano la teoria dei rapporti semplici di Pitagora e le seconde no. Bisogna piuttosto considerare quello di cui ci fa certi l'esperienza e cioè che i rapporti matematici devono essere applicati a dei corpi sonori materiali. E quando ciò succede, le diverse caratteristiche fisiche dei corpi sonori procurano risultati acustici molto differenti. Galilei, insomma, rivendica le ragioni del suono in quanto tale, scopre che la musica non è solo questione di frequenze, ma anche e soprattutto di timbro. Scoperta di non poco conto.

Per scaricare l'intero trattato Le Istitutioni Harmoniche di Zarlino: https://www.diastemastudiericerche.org/PDF/Zarlino_lock.pdf

(Sul computer è nella cartella Serata Galateana in EspérO Programmazione 2017 Canali Creativi)

per approfondire: la scala pitagorica: http://fisicaondemusica.unimore.it/Scala_pitagorica.html

Trattati
Le Istitutioni Harmoniche di Gioseffo Zarlino (1558)

(1)

http://www.associazione-antiqua.org/html/6/6-4_5.htm

Introduzione

Fra i vari trattati apparsi fra il tardo Medioevo ed il Rinascimento, le Istitutioni Harmoniche di Gioseffo Zarlino occupano un posto di particolare rilievo, a causa del credito di cui godette il loro autore, al quale la vastissima erudizione e la padronanza del greco (usato in numerose citazioni nel corso del libro) conferivano un'aura di auctoritas indiscutibile (anche se non sempre indiscussa, ad esempio a proposito della teoria dei 12 modi). Il trattato si conquistò presto "il ruolo di summa del sapere musicale cinquecentesco" (P. Da Col), fu tradotto all'estero in più di una lingua straniera e citato ancora fino al Settecento. La statura scientifica del suo autore conferisce all'opera un respiro che spazia ben aldilà delle pure e semplici questioni pratiche relative alla musica intesa come arte di chi suona, canta o compone: in effetti per Zarlino la musica, prima che arte, è scienza, scienza "subalternata" alla matematica ed alla geometria (cap. 20), delle quali condivide la certezza dei procedimenti dimostrativi e financo gli oggetti, cioè i numeri e le quantità misurabili. Ma questa tesi - che egli eredita dal medioevo ed i cui elementi provengono dall'antichità classica - non è per Zarlino, come accade invece a molti altri trattatisti, solo un'enunciazione giustificata dal desiderio di mostrar di conoscere il tradizionale inquadramento della musica nel Quadrivio, ma un programma di lavoro che trova nel trattato la più ampia sostanza. Non è dunque per niente sorprendente che il volume figuri citato con la più alta considerazione in opere di matematici coevi e il suo autore in opere biografiche sui matematici.
Le Istitutioni, in verità, sono anche un'opera assolutamente tecnica, ma non nel senso che ci aspetteremmo noi moderni, abituati a trattati musicali in cui ad una brevissima introduzione "filosofica" seguono poi lunghi capitoli destinati alle questioni che veramente interessano il musicista in senso stretto (teoria musicale, armonia, contrappunto ecc.): il libro è tecnico nel senso che anche tutta una serie di nozioni puramente matematico-geometriche che a noi apparirebbero tutt'al più come dei prerequisiti vengono affrontate e dibattute in modo approfondito. Ed ecco allora che nelle Istitutioni quella che sembrerebbe materia da introduzione occupa invece due delle quattro parti in cui l'opera è divisa e ben 146 delle 347 pagine che esso contiene nell'edizione del 1561. Ciò non deve sorprendere. All'epoca una serie di nozioni matematico-geometriche che noi apprendiamo nella scuola dell'obbligo o al massimo nei primi anni di liceo erano appannaggio di pochi dotti e non formavano un patrimonio culturale condiviso da tutti. La stessa scienza matematica era allora in piena fase di formazione. Basti pensare, per fare un esempio solo ma illuminante, che la formula per la soluzione delle equazioni di terzo grado fu pubblicata da Girolamo Cardano (Ars Magna) solo qualche anno prima dell'uscita delle Istitutioni. Questa situazione rende a noi moderni spesso oscure le terminologie adottate e poco pratici gli algoritmi, sì che ci può capitare di restare impantanati in un passo che coinvolge nozioni matematiche per noi oggi del tutto elementari, soltanto perché non siamo abituati alla terminologia ed alle procedure di calcolo proprie dell'epoca.
Di fronte ad un'opera del genere è naturalmente possibile una pluralità di approcci. Dati gli interessi eminentemente pratici di questa Rubrica, è chiaro però che questioni di natura squisitamente culturale (nel senso di storia della cultura, di studio dei rapporti fra le sue diverse componenti e così via), pur immensamente interessanti, dovranno cedere il passo a questioni di altra natura, e particolarmente alle esigenze di conoscenza approfondita delle tecniche e delle modalità esecutive della musica del passato. E allora: dovremmo forse saltare le prime due parti e prendere in considerazione solo le pagine da 147 in poi? Nulla di più sbagliato: la comprensione, anche solo terminologica, delle ultime due parti presuppone infatti una conoscenza assolutamente approfondita delle prime due (senza contare, poi, che la seconda contiene una teoria estremamente approfondita della scala musicale e dei suoi temperamenti). No, per quanto faticoso possa essere, è necessario leggere tutto: nella prospettiva musicale rinascimentale, e particolarmente in quella di Zarlino, infatti, tutto quanto è detto nelle prime due parti è elemento integrante della musica e va studiato, pena l'impossibilità di capire a fondo il tutto, di cogliere i riferimenti e di padroneggiare la terminologia.
Ecco dunque come faremo. Tutte i passi squisitamente storico-filosofici (la cui analisi ed il cui commento, per la verità, si possono tranquillamente reperire in opere moderne sull'argomento, in saggi, in articoli di vario genere: si vedano ad esempio i due saggi di Fenlon e di Da Col nelle prime pagine dell'edizione anastatica Forni) li salteremo con dolore - a meno che non siano necessari per la comprensione di qualche questione ben precisa - e ci limiteremo in alcuni casi ad indicarne i principali argomenti. Ci concentreremo invece senza pietà su tutto quanto appaia tecnico in senso lato, fossero anche terminologie aritmetiche disusate o algoritmi di calcolo astrusi o considerazioni sul comma sintonico o la teoria antica delle proporzioni matematiche.
Se dunque il tuo scopo, o lettore, è quello di avere un'idea generale dell'opera e del suo significato culturale, questa rubrica non fa per te: il nostro scopo è quello di cercare di ragionare come gli antichi, impadronendoci del loro linguaggio e delle loro metodiche. Solo così potremo sperare di giungere poco alla volta a tentare di essere come loro, non semplicemente a tentare di imitarli, pervenendo così a godere, nell'interpretazione della loro musica, della loro stessa libertà creativa.
Armati dunque di pazienza, lettore coraggioso e masochista, e seguimi.
Nota. Come al solito, all'esposizione di quelle parti del testo che ci interessano si accompagneranno miei commenti, evidenziati chiaramente e distinti dal testo principale. I numeri di pagina indicati sono quelli originali dell'edizione 1561, che noi usiamo. I titoletti dei singoli capitoli, citati fra virgolette con i loro numeri, sono originali, mentre gli altri titoli e le suddivisioni per argomento (come "La musica in generale", "I fondamenti matematici della musica" ecc.) sono miei.
Prima parte

LA MUSICA IN GENERALE

Cap. 1. "Della origine et certezza della musica"

L'opinione secondo cui le basi matematiche della musica furono poste da Pitagora risale all'antichità greco-romana ed in particolare a Boezio (d'accordo con Macrobio e in disaccordo invece con Diodoro). Pitagora sarebbe stato il primo a trovare un collegamento fra gli intervalli prodotti dei suoni generati da martelli di peso diverso che percuotevano un incudine e la proporzione matematica generata dai loro pesi. Egli avrebbe poi controllato la teoria attaccando a corde di budello identiche i medesimi martelli e verificando che le corde così poste in trazione generavano intervalli identici a quelli prodotti dai martelli quando battevano sull'incudine.
[Ecco enunciata l'idea secondo cui l'oggetto della musica non sono "i suoni" e la musica non è, come si racconta nelle scuole, "l'arte dei suoni"; oggetto della musica non sono i suoni ma i rapporti (matematicamente esprimibili) fra i suoni. Più avanti si vedrà che l'idea stessa di scala musicale è tutta costruita su rapporti matematici. Z. esprime ciò dicendo che ciò che Pitagora scopre è la "ragione delle musicali proportioni" (pag. 3), dove "ragione" sta per il latino ratio, cioè appunto "rapporto, proporzione". Ecco perché lo studio della musica presuppone lo studio dei suoi fondamenti matematici.]
I FONDAMENTI MATEMATICI DELLA MUSICA

Cap. 13. "Delle varie specie de Numeri"

Cominciamo a familiarizzarci con tutta una serie di concetti e terminologie matematiche che, secondo Z., interessano il musico.
Il primo passo è un elenco di definizioni concernenti le varie specie di numeri. Diamo qui l'elenco con fra parentesi la spiegazione in termini moderni:
1. Pari
2. Impari (= dispari)
3. Parimente pari (= 2n con n › 0, cioè: 2, 4, 8, 16, 32 ecc.)
4. Primi & incomposti (= primi)
5. Composti (= non primi)
6. Contra se primi (= privi di divisore comune diverso dall'unità, ad esempio 9 e 10)
7. Tra loro composti o Communicanti (= contrario del precedente, ad esempio 4 e 6 oppure 6 e 9)
8. Quadrati
9. Cubi
10. Perfetti (il numero n si definisce perfetto se, essendo 1, d1, d2, … dk i divisori di n, escluso n medesimo, si verifica che n = 1+d1+d2+… +dk; cioè il numero perfetto è uguale alla somma dei propri divisori, compresa l'unità ed escluso ovviamente se stesso. Ad esempio, 6 è perfetto perché è diviso da 1, da 2 e da 3, ed inoltre 6=1+2+3.).
[Un esempio per dare un'idea del linguaggio usato e del tipo di riduzione ad espressione moderna che abbiamo fatto con i concetti zarliniani: i numeri perfetti sono definiti come quelli "che sono integrati dalle loro parti […] conciosia che tolte le parti loro, & insieme aggiunte, rendono di punto il suo tutto" (pag. 23).]
Gli intervalli consonanti puri più comuni

È bene abituarsi fin d'ora a memorizzare i rapporti matematici che caratterizzano gli intervalli puri (pitagorici) più semplici e comuni compresi nell'ottava, ovvero quelli che Z. chiama "semplici & elementali" (pag. 23). Precisiamo che stiamo parlando di intervalli puri, non naturalmente di quegli intervalli (temperati) che caratterizzano tutte le accordature reali, antiche o moderne, che scaturiscono da compromessi che tolgono la purezza ad alcuni (o a tutti) gli intervalli naturali. Già che ci siamo, cominciamo subito a memorizzare anche la terminologia antica appropriata, sia degli intervalli, sia delle proporzioni matematiche che corrispondono agli intervalli medesimi.
Intervallo: ottava; nome antico dell'intervallo: diapason; proporzione corrispondente: 2:1; nome antico della proporzione: dupla

quinta; diapente; 3:2; sesquialtera

quarta; diatessaron; 4:3; sesquiterza

terza maggiore; ditono; 5:4; sesquiquarta

terza minore; semiditono; 6:5; sesquiquinta

Queste sono le proporzioni matematiche che caratterizzano tutti gli intervalli consonanti che servono nella teoria musicale rinascimentale. È infatti chiaro che a partire da questi ogni altro intervallo consonante può essere costruito, ad esempio la sesta maggiore come somma di una quarta e di una terza maggiore, la dodicesima come somma di un'ottava e di una quinta e così via. L'impostazione teorica zarliniana, per la verità, vede gli intervalli non tanto come somma di altri intervalli, ma come ottenuti per divisione armonica di intervalli più grandi. Ad esempio, dall'ottava per divisione armonica si ottengono la quinta più la quarta, mentre dalla quinta per divisione armonica si ottengono la terza maggiore più la terza minore; tutti concetti che avremo agio di vedere bene più avanti.
[Avrete certamente notato perlomeno tre cose straordinarie: le proporzioni poste nella terza colonna della nostra tabella sono estremamente semplici e coinvolgono numeri molto piccoli (al massimo il 6); in secondo luogo, le proporzioni sono tutte del tipo n+1:n con n intero; in terzo luogo le proporzioni formano una serie continua, con n che cresce di un'unità man mano che si procede da intervalli più grandi ad intervalli più piccoli. Va detta subito una cosa: anche gli antichi naturalmente erano stati più che colpiti da queste tre circostanze e non le avevano assolutamente scambiate per coincidenze casuali. Nella prossima puntata e nelle successive vedremo tutta una serie di classificazioni e soprattutto di tecniche molto belle per manipolare e capire a fondo le proporzioni, che, è bene ribadirlo, erano considerate dagli antichi non semplicemente un modo (extramusicale, matematico) per descrivere i fenomeni della musica, ma l'essenza stessa del fenomeno musicale. La musica, per loro era essenzialmente costituita da una serie di proporzioni matematiche. Vedremo anche come tutto quest'apparato matematico sia assolutamente indispensabile per capire la struttura e la formazione dell'ottava, che è come dire il problema dell'accordatura.]

© Gian Paolo Fagotto, 2002.

Trattati
Le Istitutioni Harmoniche di Gioseffo Zarlino (1558)

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Intervalli e proporzioni

Nella puntata precedente abbiamo indicato le proporzioni che esprimono i più comuni intervalli consonanti. Il significato dell'abbinamento fra intervalli e proporzioni è molto semplice, e lo è particolarmente se riferito al modello che gli antichi avevano più presente: quello del monocordo o in generale degli strumenti a corde. Ad esempio, la proporzione 2:1 esprime la diapason (od ottava che dir si voglia) nel senso che una corda di lunghezza unitaria, rispetto ad un'altra corda di uguali caratteristiche e tensione ma di lunghezza doppia, dà un suono che è esattamente l'ottava sopra; la proporzione 3:2 esprime la quinta nel senso che una corda lunga ad es. 20 cm suona una quinta sopra rispetto ad una corda di uguali caratteristiche e tensione ma lunga 30 cm, e così via. È inutile precisare che proporzioni non ridotte ai minimi termini sono assolutamente equivalenti alla loro forma ridotta: la proporzione 6:4 è equivalente alla proporzione 3:2 ed esprime identicamente la diapente ovvero quinta.
Un metodo pratico per il calcolo degli intervalli

Prima di studiare bene le proprietà delle proporzioni e delle operazioni fra proporzioni, riportiamo la ruota dei numeri sonori, una curiosità dai risvolti pratici che merita una citazione. La ruota di Zarlino è costruita ponendo in successione i numeri dall'1 al 6 più tutti i numeri che sono prodotti di due soli numeri compresi tra l'1 ed il 6. Ad esempio ci sono il 12 (3x4) ed il 16 (4x4), ma non il 26 (2x13) e neppure il 32 (4x4x2). Il numero più piccolo è naturalmente 1, mentre il più grande è naturalmente 36 (6x6).

L'utilità pratica della figura sta nel fatto che essa, oltre ad indicare le proporzioni esatte di tutti gli intervalli consonanti e dissonanti principali, consente di sommare intervalli posti su caselle adiacenti. Per avere la proporzione corrispondente ad un intervallo, si considerano i numeri posti all'estremità della casella dove sta scritto il nome dell'intervallo, procedendo in senso orario; se la proporzione è riducibile, va ridotta ai minimi termini. Ad esempio, per il ditono (terza maggiore) si trova la proporzione 5:4, ma anche 15:12, che, ridotta ai minimi termini, è la stessa cosa. Per sommare due o più intervalli posti su caselle adiacenti, si considerano il primo numero della prima casella e l'ultimo dell'ultima, sempre procedendo in senso orario. Ad esempio: sommando il semiditono al tono minore si ottiene 12:9, che ridotto dà 4:3 (quarta); continuando a sommare il tono maggiore successivo, si ottiene 12:8, che ridotto dà 3:2 (quinta) e così via, il che concorda con la realtà, dato che la terza minore più un tono (minore) dà una quarta, che sommata ad un tono (maggiore) dà per l'appunto una quinta..
Utilissima per matematici pigri, per intervalli strani o grandi, e per non sbagliare mai con i due toni e semitoni (maggiori e minori), questa ruota consente in pratica di avere sottomano un prontuario veloce per conoscere la descrizione matematica degli intervalli secondo la teoria tradizionalmente attribuita a Pitagora. Ad esempio: non ricordate più se la terza minore (semiditono) si fa sommando al semitono maggiore un tono maggiore oppure un tono minore? Cercateli nelle due caselle adiacenti, e troverete, posti fra i numeri 18, 16 e 15, il tono maggiore ed il semitono maggiore. La proporzione che ottenete è 18:15, cioè 6:5 che è la proporzione della terza minore, il che vi conferma che siete nel giusto.
Intervalli semplici e composti

È una distinzione che è bene conoscere. Gli intervalli semplici risultano da una proporzione fra numeri consecutivi (ad esempio 4 e 3 oppure 3 e 2), i composti no (ad es. 5 e 3). Ne consegue che gli intervalli composti, non risultando da numeri consecutivi, ammettono fra i due termini un termine medio. Con quest'ultimo, si creano così due nuove proporzioni che descrivono i due intervalli i quali, uniti insieme, generano l'intervallo di partenza. Un esempio:
sesta maggiore 5:3

ammette il termine medio 4, che genera le due proporzioni

5:4 e 4:3

ed infatti la sesta maggiore si ottiene sommando una terza maggiore (5:4) ed una quarta (4:3).
È ovvio che si può fare anche l'inverso, come abbiamo visto nella descrizione della ruota.
È bene avvertire che il concetto di semplice e composto va inteso solo nella sua forma matematica. Ad esempio, la quinta potrebbe sembrare intervallo composto, perché formato da una terza maggiore più una terza minore. Così però non è, dato che la proporzione che esprime la quinta (3:2) è una proporzione semplice, come quelle che esprimono le terze (5:4 e 6:5). La quinta, al pari delle due terze, è dunque intervallo semplice.
Fin qui, generalità e metodi pratici: ma il bello viene a partire dalla prossima puntata, in cui cominceremo a vedere in dettaglio la teoria zarliniana della proporzioni.

© Gian Paolo Fagotto, 2002.

DEL NOME
COSTRUZIONE DEL QUOZIENTE
molteplice
k-upla
k
superparticolare
sesqui-na

1 + 1/n
superpartiente
super-m-partiente-na
1 + m/n
molteplice superparticolare
k-upla sesqui-na
k + 1/n
molteplice superpartiente
k-upla super-m-partiente-na
k + m/n
Risulta dunque evidente che le denominazioni antiche rappresentano una forma di cristallizzazione linguistica del "quoziente" o "denominatore" di ciascuna proporzione.
Ma perché adottare per il quoziente una forma di analisi e denominazione così apparentemente complicata?
La risposta sta evidentemente nell'uso al quale le proporzioni sono destinate. Non posso dilungarmi troppo in questa sede e dunque rimando il lettore che volesse approfondire l'argomento alla versione stampata delle mie riflessioni sulle Istitutioni. Si tratta di un uso legato alla misura ed alla ripartizione di corde e, più in generale, di distanze, connesso (come tutto lo sviluppo iniziale della geometria antica greca e pre-greca) all'uso della geometria a fini di agrimensura, di architettura ecc.
Il quoziente così espresso consente di vedere alla prima occhiata il rapporto fra due corde: se una delle due è un multiplo dell'altra (genere molteplice), se è un multiplo più un piccolo resto (molteplice superparticolare), se è un multiplo più un resto "grande" (molteplice superpartiente), se è praticamente uguale all'altra corda a parte un piccolo resto (superparticolare) o un resto grande (superpartiente). Tutto ciò può essere utile a chi debba porre rapporti tra corde. Prendiamo ad esempio il rapporto 8:3; se io lo chiamo "dupla super-bi-partiente terza" (quoziente 2 + 2/3), so subito che prima devo raddoppiare la corda di partenza e poi aggiungere ancora una parte pari a due terzi della corda di partenza.
Ci sono poi altre considerazioni, legate alle modalità ed alla precisione della divisione di una corda, molto interessanti, ma che non è il caso di riportare in questa sede.
Al lettore non matematico, infine, deve essere comunque ricordato che questa modalità di espressione del quoziente non è poi così lontana da quella con la virgola cui siamo abituati noi moderni. Se consideriamo, ad esempio, il quoziente di 5:2, esso può essere espresso con il numero 2,5 oltre che con l'espressione 2 + 1/2 e naturalmente con la frazione 5/2 (in termini matematici queste tre espressioni sono tutte egualmente legittime e tutte equivalenti: la preferenza all'una o all'altra va data sulla base dell'uso pratico che si intende fare dell'espressione). La rappresentazione di un numero con la virgola è però in generale una variante "mascherata" della rappresentazione antica. Ad es. il numero 3,487 significa 3 + 4/10 + 8/100 + 7/1.000. L'espressione 2,5 cioè 2 + 5/10, semplificando la frazione, è dunque matematicamente identica a 2 + 1/2. Nel caso di numeri periodici, poi, l'uso delle espressioni antiche può essere addirittura più pratico del sistema con la virgola. Ad esempio 2 + 2/3 in certi contesti è sicuramente più maneggevole di 2,666…, espressione che corrisponde a 2 + 6/10 + 6/100 + 6/1.000 + … .
Niente di astruso e strano, dunque, anche se le espressioni linguistiche antiche usate per le proporzioni appaiono al lettore moderno certamente inconsuete.]
[Altra nota. Qualche lettore continuerà a chiedersi cosa importi tutto ciò al musicista. Pazienza…! Sarà tutto chiaro fra non molto, quando si vedrà che queste cose sono utili per capire le molte e dotte considerazioni di Zarlino intorno al problema della costruzione dell'ottava e dell'accordatura degli strumenti, un tema di grandissima importanza anche pratica che libererà la mente e scatenerà la fantasia di chi non intende limitarsi all'accordatore elettronico.
A partire dalla prossima volta, finalmente arriviamo a vedere le operazioni con gli intervalli: come si sommano, si sottraggono, si moltiplicano e, soprattutto, si dividono. E tutto questo serve per impostare esattamente le scale musicali (gli antichi lo facevano suddividendo il monocordo) e quindi le accordature: non a orecchio, ma in forma matematica precisa.]
© Gian Paolo Fagotto, 2002.

Operazioni con le proporzioni

[Cominciamo l'importante argomento delle operazioni con le proporzioni. Ma anzitutto, chiediamoci a cosa queste serviranno. Bene, ognuna delle operazioni che vedremo in questa puntata ha un suo riferimento preciso nella costruzione del monocordo e serve a questo scopo. Zarlino parla del monocordo nella seconda parte, al capitolo 18, ma noi qui dobbiamo anticipare l'argomento, se vogliamo capir bene di cosa stiamo parlando.
Il lettore moderno si domanderà perché dovremmo avere interesse per questo buffo strumento. La risposta è che il monocordo, in questo contesto, non appare affatto come uno strumento, ma come un vero e proprio accordatore, anche se non elettronico ma meramente acustico.
Dato infatti il problema di accordare strumenti, specialmente a tastiera, in modo omogeneo e riproducibile, cioè facendo esattamente lo stesso tipo di accordatura, anche nel caso in cui lo strumento in questione non sia spostabile (si pensi a organi), la soluzione consiste nel costruire una tastiera suddivisa, i cui "tasti" ovvero scannelli riproducano esattamente le note della scala musicale completa nel temperamento voluto (in realtà, Zarlino propone uno scannello mobile, che poteva essere spostato su una scala graduata in cui erano segnate le posizioni delle singole note). La corda (o le corde: i cosiddetti monocordi potevano averne più d'una) poteva esser posta all'unisono con la nota base più grave dell'ottava da accordare; le note superiori risultavano allora da una pressione del dito in corrispondenza delle divisioni della tastiera del monocordo e potevano essere usate per accordare, sempre all'unisono, le altre note dello strumento.
Il vantaggio rispetto, ad esempio, ad un diapason, sta nel fatto che la nota di base e quindi l'altezza di tutte le altre note della scala è regolabile in modo molto preciso. In altre parole, il monocordo serve non per esportare un La di particolare altezza, ma per esportare l'intera scala in un particolare temperamento, qualunque sia l'altezza assoluta della nota di partenza.
Ora, è chiaro che la posizione matematicamente precisa degli scannelli assicura la precisione della scala. Quest'ultima, anziché a orecchio, veniva costruita misurando con esattezza le lunghezze di diverse porzioni di corda ed effettuando su quelle misure determinate operazioni, che sono proprio quelle che ora vedremo. Queste operazioni costituiscono l'abicì del lavoro col monocordo, cioè della teoria e della pratica dell'accordatura scientifica.]
La somma di proporzioni

Se partendo da un suono e movendomi verso l'acuto produco ad esempio prima una quinta, poi una quarta, poi una terza maggiore, poi una minore, a quale intervallo mi trovo dal suono di partenza? L'operazione che fornisce la risposta è chiamata da Zarlino somma di proporzioni. Il metodo proposto dalle Istitutioni è riconducibile a ciò che in linguaggio matematico moderno chiameremmo prodotto di frazioni. Gli intervalli citati nell'esempio devono anzitutto essere espressi dalle loro proporzioni 3:2, 4:3, 5:4 e 6:5. Di queste ultime, trasformate in frazioni si fa un normale prodotto matematico:
3/2 x 4/3 x 5/4 x 6/5 = 3/1

dunque la risposta è la proporzione 3:1 (diapasondiapente ovvero decimaseconda)
Nell'esempio, usando il metodo di Zarlino, si ottiene 360:120. Questa proporzione, ridotta ai minimi termini, equivale a 3:1, come previsto.
La sottrazione di proporzioni

La sottrazione di proporzioni zarliniana permette di sapere di quanto un dato intervallo superi un altro; il risultato è una proporzione che sommata (nel senso del paragrafo precedente) a quella che esprime il secondo intervallo dà il primo. Ad esempio la quinta 3:2 supera la quarta 4:3 per un tono maggiore 9:8. Anche qui forniamo l'equivalente matematico moderno, la divisione di frazioni:
3/2 : 4/3 = 9/8

L'operazione inversa della sottrazione di proporzioni è naturalmente la somma di proporzioni, che pertanto può essere usata come prova per verificare la correttezza del calcolo.
In senso moderno: la prova della divisione è il prodotto del divisore per il risultato; infatti 4/3 × 9/8 dà appunto 3/2 come c'era da aspettarsi.
La moltiplicazione di proporzioni

La moltiplicazione di n proporzioni, nel linguaggio di Zarlino, corrisponde a stabilire una serie decrescente di n+1 numeri tali che ognuno, col numero seguente, formi un intervallo equivalente alla proporzione n-esima.
Ad esempio: 3:2, 4:3, 5:4, 6:5 sono quattro proporzioni espresse nella loro forma di base (cioè ridotta ai minimi termini) che corrispondono rispettivamente ad una quinta, una quarta, una terza maggiore ed una minore. Moltiplicare fra loro queste proporzioni significa trovare una serie decrescente di 5 numeri a, b, c, d, e, tali che le proporzioni a:b, b:c, c:d, d:e risultino equivalenti a quelle date.
Che significa? Il numero a rappresenta la lunghezza totale della corda, mentre i numeri b, c, d, e rappresentano i punti successivi nei quali la corda produce note in successione, ad intervalli uguali a quelli dati, ovvero: nel punto che dista b dall'origine si produce una quinta rispetto al suono della corda di lunghezza totale a; nel punto che dista c, si produce una quarta rispetto al suono prodotto in b; nel punto d si produce una terza maggiore rispetto alla nota prodotta in c e così via.
L'utilità di questa procedura risulta chiara se si pensa alla sua applicazione pratica alla suddivisione multipla della corda in un monocordo.
Ad esempio, per avere la successione di 4 note do-re-mi-fa, è sufficiente moltiplicare fra loro le proporzioni 9:8 (tono maggiore do-re), 10:9 (tono minore re-mi), 16:15 (semitono maggiore mi-fa). Si ottengono i numeri 180, 160, 144, 135.
Ciò significa che, in una corda di lunghezza totale 180, accordata in modo da suonare do, la posizione del re si ottiene alla lunghezza 160, quella del mi alla lunghezza 144 e quella del fa alla lunghezza 135.
Per la moltiplicazione di proporzioni, Z. fornisce due diverse e complesse procedure di calcolo che danno numeri che non sono nei minimi termini. [Z. fornisce in seguito la procedura per i minimi termini]. Per non complicare troppo le cose ( e rimandando al lettore alla futura versione stampata del mio studio sulle Istitutioni Harmoniche) consiglio la seguente procedura ricorsiva:
1. moltiplicare fra di loro tutti i membri di tutte le proporzioni (i numeri che eventualmente compaiano più di una volta vanno considerati una volta sola); il numero ottenuto esprime la lunghezza totale della corda ed è il primo elemento della serie;
2. per ottenere l'elemento n+1-esimo della serie, dividere l'elemento n-esimo per il primo membro della proporzione n-esima e moltiplicarlo per il secondo membro della medesima proporzione;
3. infine ridurre tutti gli elementi della serie ai minimi termini.
La divisione di proporzioni è un caso di particolare complessità, e lo vedremo perciò alla prossima puntata.
© Gian Paolo Fagotto, 2002.

Divisione di proporzioni

Arriviamo all'operazione più complessa, ma anche la più utile.
Dividere una proporzione di maggiore inequalità x:y significa trovare tre numeri m, d ed n, tali che:
1. m:n = x:y
2. m<d<n
ottenendo così le due nuove proporzioni:
m:d e d:n

che rappresentano il risultato della divisione della proporzione di partenza x:y. Ripeto: il risultato della divisione di una proporzione è costituito da due nuove proporzioni.
A seconda dei rapporti che si instaurano fra i tre numeri m, d ed n si parla di tipi differenti di divisione, a ciascuno dei quali corrisponde naturalmente un algoritmo di calcolo differente.
La teoria matematica dell'epoca di Zarlino prende in considerazione due tipologie di rapporti fra m, n e d:
le differenze m-d e d-n
la circostanza che m:d e d:n (ridotte ai minimi termini) siano uguali o ineguali fra loro
Ciò porta a tre tipi di divisione:

NOME DIVISIONE DIFFERENZE m-d, d-n UGUAGLIANZA m:d, d:n
aritmetica uguali ineguali
geometrica ineguali uguali
armonica ineguali ineguali
Inoltre, per la sola divisione armonica deve anche valere la condizione:

m:n = (m-d):(d-n)

cioè la proporzione delle differenze deve essere uguale alla proporzione maggiore.

Ecco gli algoritmi di calcolo per ciascuna delle tre divisioni:

NOME DIVISIONE PROCEDURA DI CALCOLO ESEMPI
aritmetica
d = (2x+2y)/2
m = 2x
n = 2y

le nuove proporzioni che risultano sono:

m:d e d:n

proporzione 3:2; x = 3 e y = 2

termine medio d:
[(3×2)+(2×2)]/2 = 5

nuove proporzioni:
6:5 e 5:4

proporzione 2:1; x = 2 e y = 1

termine medio d:
[(2×2)+(1×2)]/2 = 3

nuove proporzioni:
4:3 e 3:2

geometrica
d = radice quadrata di x×y

le nuove proporzioni che risultano sono:

x:d e d:y

proporzione 4:1; x = 4 e y = 1

termine medio d:
radice quadrata di 4 = 2

nuove proporzioni:
4:2 e 2:1

proporzione 9:1; x = 9 e y = 1

termine medio d:
radice quadrata di 9 = 3

nuove proporzioni:
9:3 e 3:1

armonica
Anzitutto si calcola il termine d1 attraverso una divisione aritmetica (v. sopra);

termini estremi m ed n sono:

2x×d1 e 2y×d1

termine medio d è:

2x×2y

proporzione 3:2; x = 3 e y = 2

termine d1 = 5 (v. sopra)

termini estremi m ed n:
2×3×5 = 30 e 2×2×5 = 20

termine medio d:
2×3×2×2 = 24

nuove proporzioni:
30: 24 e 24:20

(che, ridotte ai minimi termini, sono equivalenti a 5:4 e 6:5)

Utilizzando i risultati delle divisioni aritmetica, geometrica ed armonica, si può suddividere una corda sonora.
Restiamo nell'ultimo esempio della tabella, relativo ad una divisione armonica.
Se una corda di lunghezza totale 30 dà, poniamo, un Do, il tratto di lunghezza 20 darà il Sol superiore; il tratto lungo 24 darà invece il Mi naturale. Nell'esempio, dunque, la quinta Do-Sol è divisa dalla terza maggiore Do-Mi, più la terza minore superiore Mi-Sol.
Nella divisione aritmetica, invece, un'analoga quinta Do-Sol 30:20 (cioè 3:2) è divisa dalla terza minore Do-Mibemolle e dalla successiva terza maggiore Mibemolle-Sol.
Si capisce dunque che le due proporzioni che costituiscono il risultato della divisione della proporzione di partenza rappresentano due cose diverse. La prima consente di trovare una nota superiore rispetto alla nota più grave, situata fra questa e la nota più acuta (la nota più grave è rappresentata dal numero più grande, quella più acuta dal numero più piccolo). La seconda rappresenta invece l'intervallo residuo fra questa nota intermedia e la nota più acuta.
Si vede anche che la divisione armonica fornisce un risultato "invertito" rispetto alla divisione aritmetica, avendo i medesimi intervalli, ma scambiati di posto fra loro, con l'intervallo maggiore al grave anziché all'acuto (non prendiamo in considerazione la divisione geometrica, che Z. riporta solo per completezza e che ha un significato puramente geometrico e non musicale).
Z. ritiene la divisione armonica dotata di maggior significato musicale rispetto alle altre due ed il perché può forse essere compreso proprio pensando a quest'ultima considerazione. Secondo Z., infatti, "la natura dell'harmonia […] è, di avere i suoni gravi, di maggior intervallo de gli acuti, & questi per il contrario di minore".
© Gian Paolo Fagotto, 2002.

Seconda parte

Se la prima parte delle Istitutioni Harmoniche tratta fondamentalmente di questioni matematiche ed in particolare della teoria delle proporzioni, la seconda applica i concetti appresi ad un fondamentale argomento: la natura e la struttura della scala musicale con la conseguente teoria e pratica del temperamento.
Questo argomento è affrontato subito dopo una serie di considerazioni di grande interesse storico e culturale che, apparentemente esponendo questioni riguardanti la musica greca, riguardano in realtà la posizione che, secondo Zarlino, spetterebbe al musicista nell'ambito della società umana. Trattandosi di questioni non tecniche, ci limiteremo - con vivo dolore - ad accennarvi brevemente.
Musica dei Greci e musica dei 'moderni'

Secondo la narrazione degli antichi, i Greci usavano solo gli intervalli che danno consonanze dette perfette, ovvero l'ottava, la quarta, la quinta (più gli intervalli ottenuti aggiungendo ai precedenti un'ottava, con il limite invalicabile delle due ottave). Z. rivendica però la legittimità anche delle terze e delle seste, chiamate consonanze imperfette, al punto da dichiarare che la musica dei Greci "sia stata da principio semplice, rozza, & povera di consonanze" proprio perché mancante di queste consonanze.
L'origine di tutta la faccenda sta, secondo Zarlino, nel fatto che Pitagora aborriva il non semplice. Si dà il caso che le proporzioni che esprimono ottava, quarta e quinta siano tutte dei tipi semplici cioè il molteplice ed il superparticolare (v. seconda e terza puntata, nel n° 6 e 7 della Rubrica). Per la verità, anche le proporzioni superparticolari che esprimono le terze sono di per sé semplici, ma non possono essere ammesse perché creerebbero un problema: combinandosi con la quarta genererebbero infatti le seste (esacordi) maggiori e minori, espresse, ahimè, da proporzioni superpartienti (5:3 e 8:5), che per i pitagorici erano assai 'meno razionali' e 'meno semplici' e generavano intervalli composti. Seguendo questo modo di ragionare, dunque, le terze, che generano le seste, che a loro volta sono consonanze poco razionali e quindi imperfette, devono a loro volta essere considerate imperfette.
Abolendo terze e seste e limitandosi dunque alle consonanze di ottava, quarta e quinta, il quattro (ovvero Quaternario, numero per il quale i Pitagorici avevano una particolare venerazione) diventa quello che potremmo definire il 'numero generatore' di tutte le consonanze perfette. Combinando i primi quattro numeri in proporzioni di maggiore inequalità, otteniamo infatti l'ottava (2:1), la diapasondiapente (ottava più quinta, 3:1), la disdiapason (due ottave, 4:1), la quinta (3:2), la quarta (4:3), e ancora l'ottava (4:2 = 2:1), che corrispondono a intervalli che si possono ottenere combinando fra loro unicamente quarta, quinta ed ottava.
Si tratta di un modo di ragionare che a noi appare bizzarro, e tale sicuramente doveva apparire a molti musicisti pratici anche ai tempi di Zarlino. Va osservato però che la critica zarliniana non tocca affatto le basi teoriche di questo ragionamento, ma lo attacca sul versante pratico. Dato che un'armonia priva di terze e seste è inaccettabile sul piano pratico, argomenta Z., occorre ammettere terze e seste, ricorrendo non più al Quaternario come numero generatore, ma al già visto Senario, cioè al numero sei (v. prima puntata, n° 5 della Rubrica, ultimo paragrafo).
La capacità della musica di agire sulla psiche

Veniamo ora alla questione della capacità della musica di agire sulla psiche, questione capitale nel contesto socio-culturale della musica rinascimentale. Se, come abbiamo visto, la musica dei Greci era imperfetta perché povera di consonanze, come mai tanti antichi autori degni di fede ne documentano una tale capacità, che invece sembrerebbe essere assai meno presente nella musica contemporanea a Zarlino? Va ricordato infatti che secondo numerosi autori antichi la musica sarebbe stata utilizzata da musici o filosofi greci per ottenere una serie di strabilianti effetti, quali guarigioni di soggetti affetti da patologie psichiche, persuasione di principi e regnanti ad intraprendere o non intraprendere certe azioni, orientamento dello stato d'animo e delle opinioni di interi gruppi di persone e così via.
La risposta di Z. è che la mancanza o la debolezza di tali effetti nella musica a lui contemporanea non è da ricercarsi nelle differenze rilevabili tra l'armonia degli antichi e quella dei moderni (ed in particolare non consiste nell'uso dei generi cromatico ed enarmonico, come sostenuto da alcuni) ma in altro; tale risposta è articolata in 5 punti.
1. La musica degli antichi (Greci e Romani) era monodica: si eseguiva utilizzando un unico strumento di supporto ad un unico cantore. Z. dice: "li Musici di quei tempi, non usarono la Musica con tante variate sorti d'istrumenti […] ne anco le loro cantilene erano composte di tante parti [cioè non erano polifoniche]; ne con tante voci facevano i lor concenti, come ora faciamo: ma la essercitavano di maniera, che al suono di un solo istrumento, cioè di un Piffero, o di Cetera, o di Lira, il Musico semplicemente accompagnava la sua voce" .
2. Gli argomenti dei testi cantati erano "cose gravi, dotte, & composte elegantemente", con argomenti come le lodi agli dei, la celebrazione di uomini illustri e così via; inoltre si trattava di argomenti morali, mentre i contemporanei, intende Z., usano perlopiù testi che parlano di cose futili.
3. Gli antichi musicisti erano anche poeti, anzi, si identificavano tout court con i sapienti, quindi erano persone di particolare preparazione e particolare valore (a differenza dei musici professionali dell'epoca di Z.).
4. Nella musica il testo è fondamentale. Se infatti è vero che l'armonia ha moderate capacità di indurre particolari sentimenti e che il numero (cioè il ritmo) aumenta tali capacità, ad esempio disponendo al ballo, è vero però che è la narrazione di argomenti tristi o allegri ad indurre tristezza o allegria o altre passioni nell'uditorio convenientemente disposto. La musica misurata potenzia ed aumenta, quindi, una virtù che è e resta propria del testo poetico.
5. Perciò ai tempi di Z. la musica esercita ancora effetti sulla psiche, ma solo quand'è eseguita monodicamente ("con maggiore dilettatione si ode cantare alcuno solo"), con pochi strumenti ("al suono dell'Organo, della Lira, del Leuto, o di altri simili istrumenti"), su testi di lunghezza conveniente e di argomento adatto ("alcune materie che habbiano del Comico, over del Tragico, & altre cose simili con lunghe narrationi").
[Nota. Di queste affermazioni, alcuni punti risultano di particolare interesse.
1. È esposto in termini che non potrebbero essere più chiari un punto di vista diffuso negli ambienti umanistici: ciò che importa è il testo poetico, creato dal poeta che è anche dotto in tutte le discipline e perciò filosofo e sapiente; rispetto al testo, la musica è ancella, è appunto, ministra dell'orazione;
2. l'unico modo per valorizzare degnamente la poesia in musica è l'esecuzione solistica (in subordine, la polifonia omoritmica è accettabile perché almeno fa comprendere il testo); la polifonia usuale invece è inaccettabile, benché diletti assai l'orecchio, perché distoglie troppo l'attenzione dal testo, attirandola su elementi puramente musicali;
3. all'epoca di Z. (l'opera è del 1558, l'edizione a cui ci riferiamo del 1561!) l'esecuzione solistica di musica vocale è prassi del tutto corrente ed accettata in determinati ambienti, al punto che Z., parlando della sua superiorità sulla polifonia, può dire: "Ma lasciamo ormai queste cose: percioché sono quasi manifeste ad ogn'uno, che hà giuditio". Z. cita come prassi esistente la recitazione musicale, qualunque cosa ciò possa significare, che all'epoca si faceva dell'Ariosto, il cui Orlando ha il requisito della lunga narratione e si ben si contrappone al madrigale, nel quale si racconta con breve parole una materia breve;
4. infine, la superiorità della monodia sulla polifonia non è affermata in senso assoluto - dato che Z. riconosce volentieri che la musica polifonica diletta moltissimo ed ha il maggior successo - ma nel senso che la monodia ha un effetto sulla psiche che la polifonia non può avere. La superiorità della monodia è giustificata perciò dal fatto che solo questa, per gli umanisti come Z., dà al musicista il potere di agire sull'animo del pubblico; si tratta dunque, per il musico-umanista, di recuperare la "riverenza inestimabile" che avevano, come avverte il Proemio, i primi musicisti, i quali "acquistorno appresso i popoli tale autorità, che furno da molto più temuti & onorati, che non erano gli altri", proprio perché erano in grado di agire sull'animo degli individui eccitandone o frenandone le passioni. Il recupero della capacità della musica di agire sulla psiche è dunque la premessa per l'attribuzione alla categoria dei sapienti di un'importanza sociale che avevano avuto solo nell'età dell'oro!]
© Gian Paolo Fagotto, 2002.

Il lettore sa che ci siamo proposti di prendere in considerazione solo le parti tecniche delle Istitutioni Harmoniche. Perciò, nelle pagine che esamineremo ora, salteremo tutta una serie di considerazioni pur interessanti, limitandoci a riportarne (nei paragrafi che seguono) alcune definizioni o poco più.
Formazione fisica del suono

I capp. 10 e 11 illustrano la teoria fisica del suono secondo i principi dell'aristotelismo allora dominante. Ricordiamo, fra gli altri, i seguenti concetti riportati da Zarlino:
1. il suono nasce dal movimento di solidi, liquidi o aria;
2. corpi lenti producono suoni gravi, corpi veloci suoni acuti;
3. il suono generato da una corda consta di molti suoni, che l'orecchio percepisce come una cosa sola.
Consonanza, dissonanza, armonia, melodia

Consonanza si ha quando due suoni, "che sono tra lor differenti senza alcun suono mezano, si congiungono concordevolmente in un corpo; & è contenuta da una sola proportione".
Dissonanza sia ha invece quando "la mistura dei due suoni aspramente perviene alle nostre orecchie per la disproportione che sussiste fra loro".
La consonanza può essere imperfetta quando consta di due soli suoni, oppure perfetta, quando consiste in più suoni contemporanei fra loro consonanti.

L'armonia può essere:
non propria quando consista in una semplice consonanza, benché perfetta, oppure
propria quando abbia in più la modulatione. Zarlino dice: "nasce dalle parti di ciascuna cantilena, per il proceder che fanno accordandosi insieme fino a tanto, che siano pervenute al fine".
Se in una cantilena all'armonia propria siano aggiunti il ritmo e l'oratione (cioè un testo), si ha, secondo Platone, la melodia.
Canto e modulazione

Modulazione è un "movimento fatto da un suono all'altro per diversi intervalli, il quale si ritrova in ogni sorte di Harmonia, & di Melodia". La modulazione del canto fermo è tale impropriamente, perché manca del ritmo e dell'armonia, mentre quella del canto figurato lo è propriamente.
La parola "canto" si può utilizzare per il canto vocale, per la musica strumentale ed anche per il canto di certi animali. Il canto è una modulazione condotta utilizzando le "voci discrete". Scopriamo nel paragrafo che segue cosa siano tali voci.
I tre tipi di voce

I suoni vocali emessi dall'uomo per esprimere un testo possono rientrare in tre categorie:
1. voci continue: il parlare, la semplice lettura di prosa o di versi;
2. voci discrete (diastematiche): il cantare rispettando le diverse altezze che i suoni hanno nella musica;
3. miste, ovvero, come dice Zarlino, "quelle, con le quali leggemo ogni sorte di Poesia, non come la Prosa senza mutatione di suono; ne anco distintamente con intervalli determinati, come si usa nelle cantilene; ma ad un certo modo che piace più a noi; osservando quelli accenti, che si danno alle parole, secondo che richiede la materia contenute in essa".
Questa classificazione proviene da Boezio. Dopo Z. sarà ripresa ad es. da Doni. È insomma "un classico" ma va osservato che si tratta di un punto estrememente interessante per un'adeguata comprensione storica e stilistica del repertorio vocale del primo barocco, perché questo concetto è coinvolto nell'idea di recitativo così come questa si sviluppa fra fine Cinquecento ed inizio Seicento. Tralasciamo con dispiacere quest'argomento, per immergerci nei tecnicismi delle scale musicali.

La costruzione delle scale musicali

I tre generi greci di melodia nella costruzione del tetracordo
La teoria zarliniana dell'accordatura è preceduta da una minuta esposizione dei precedenti storici greci. La teoria musicale greca fondava la scala musicale sul tetracordo anziché sull'esacordo, quindi si esaminano anzitutto le costruzioni dei tetracordi, allo scopo di giungere poi alla divisione dell'ottava.
Il motivo per cui si privilegiava il tetracordo era dovuto principalmente all'idea di impronta pitagorica che la quarta, essendo la più piccola fra le consonanze perfette (su consonanze perfette ed imperfette, vedi la puntata precedente), fosse la più atta a fungere da nucleo ripetitivo su cui costruire la scala musicale; inoltre il tetracordo si prestava bene anche per motivi pratici, perché in ogni luogo della scala si poteva avere un tetracordo consonante (tenendo presente che i Greci ammettevano il sibemolle).
La teoria greca prevedeva tre generi di melodia: il genere diatonico, il genere cromatico ed il genere enarmonico. In ognuno di questi generi sono costruiti tetracordi di varie specie, che si differenziano l'uno dall'altro pur essendo - all'interno del medesimo genere - complessivamente simili.
Ogni tetracordo, di qualunque genere o specie, è costituito da 4 note, fra la prima e l'ultima delle quali c'è un intervallo esatto di quarta pura (4:3). Molti autori greci hanno fornito la descrizione di questi tre generi. Fra le tante, la più accettata, secondo Zarlino, è quella di Tolomeo, riprodotta anche da Boezio, che pertanto egli ripropone.
Ecco la suddivisione dei tre generi nelle varie specie:
GENERE SPECIE
Genere diatonico: 1 semitono e 2 toni (tipo la scala si-do-re-mi) Diatonico Diatono
Diatonico molle
Diatonico sintono o incitato
Diatonico toniaco
Diatonico equale
Genere cromatico: 2 semitoni ed 1 "trihemituono" (appross. terza minore) Cromatico antico
Cromatico molle
Cromatico incitato
Genere enarmonico: 2 diesis (metà del semitono minore) ed 1 ditono (terza maggiore) Enarmonico antico
Enarmonico di Tolomeo
Nelle varie specie di un medesimo genere, la grandezza dei toni, semitoni e quarti di tono è leggermente diversa, il che dà le differenze tra una specie e l'altra. È da sottolineare che gli intervalli maggiori nei generi cromatico (trihemituono) ed enarmonico (ditono) sono incomposti, cioè vanno considerati indivisibili e primari, come avviene per gli intervalli di tono e semitono nel genere diatonico.
Il tetracordo diatonico sintono

In questa sede sarebbe eccessivo caratterizzare matematicamente in modo più preciso le differenze fra le varie specie di tetracordi. È sufficiente rilevare che per Z. il genere principale è senza dubbio il diatonico e, fra le varie specie del diatonico, la specie più importante è il tetracordo sintono, perché è l'unico che produca una scala all'interno della quale tutti gli intervalli di terza maggiore e quasi tutti gli intervalli di terza minore, quarta e quinta coincidano con intervalli definiti dai numeri sonori, cioè siano intervalli puri. Ecco la descrizione matematica del tetracordo diatonico sintono:

4a corda (acuta) Tono minore
(10:9) Terza maggiore (5:4)
3a corda Tono maggiore
(9:8) Terza minore
(6:5)
2a corda Semitono maggiore (16:15)
1a corda (grave)

Questo tetracordo, secondo Zarlino, è quello che si usava nel Cinquecento come base di partenza per la divisione dell'ottava. Il motivo sta appunto nella circostanza che negli altri tetracordi vengono a mancare le terze e le seste, indispensabili per l'armonia rinascimentale, oltre al fatto che anche altri intervalli risultano carenti (ad esempio semitoni stonati, quarte non giuste ecc.).
Invece i generi cromatico ed enarmonico non sono considerati da Z. interessanti per la costruzione dell'ottava, principalmente per la circostanza che essi non sono altro che un "ispessamento" del tetracordo diatonico, cioè un'aggiunta di corde mediane. Precisamente, nel cromatico, viene aggiunta una corda fra la seconda e la terza del diatonico, mentre nell'enarmonico viene aggiunta una corda fra la prima e la seconda del diatonico; invece la prima, la seconda e la quarta corda del diatonico sono comuni a tutti e tre i generi.
© Gian Paolo Fagotto, 2002.

La suddivisione della corda sonora

La costruzione della scala musicale di riferimento avviene attraverso lo studio degli intervalli e il modello fisico usato dagli antichi per lo studio degli intervalli era il monocordo. Lo strumento (una semplice tavola di legno in grado di fornire un minimo di risonanza) poteva essere costituito da una corda o (nonostante il nome) più corde ed in questo secondo caso le corde dovevano essere rigorosamente della stessa lunghezza ed accordate all'unisono.
Ciascuna corda dello strumento doveva poter essere suddivisa da appositi scannelli ovvero piccoli "ponticelli" mobili che potevano essere spostati a piacere e che interrompevano la lunghezza della corda nei punti voluti. La presenza di più corde era utile per ascoltare più note contemporaneamente a certi intervalli.

Un'immagine del monocordo è fornita dalle numerose illustrazioni delle Istitutioni che riportano le divisioni della corda sonora corrispondenti ad una particolare scala musicale. In quest'illustrazione, la posizione di ogni divisione sulla corda (corrispondente ad una nota particolare) è indicata da un numero, che misura la lunghezza della corda in quel punto. A fianco, i nomi greci corrispon—denti alle varie note e la raffigurazione dei tetracordi che esse formano.

Z. riporta due metodi principali per ascoltare un intervallo su una corda. Il primo è il metodo che egli predilige e consiste in questo: si produce il suono grave dell'intervallo prescelto con la lunghezza totale della corda e si divide poi la corda con uno scannello in modo da produrre due tratti, uno dei quali dà il suono acuto. Ad esempio, si assume il suono prodotto dalla corda intera come nota grave di una quinta, si suddivide poi la corda ponendo lo scannello a 2/3 della sua lunghezza e si assume il tratto più lungo che risulta dalla suddivisione come nota acuta della quinta medesima. In questo modo, i suoni si possono udire solo in successione, a meno di non usare un monocordo a due corde accordate all'unisono.
L'altro metodo, attribuito da Z. a Boezio, consiste nel sommare i numeri che danno la proporzione corrispondente all'intervallo e nel suddividere la corda in tante parti quante risultano dalla somma; ad esempio, per una quinta 3:2, si divide la corda in 5 parti. Si pone poi uno scannello in corrispondenza del punto che divide le 3 prime parti dalle restanti 2 e si ottengono due tratti di corda posti fra loro nella relazione desiderata. I due tratti si possono far risuonare contemporaneamente, ottenendo le due note poste nell'intervallo desiderato.

Naturalmente sono possibili suddivisioni multiple, per ottenere intervalli in successione (ad es. quelli corrispondenti alle note do-mi-sol). In questa sede basterà dire che il metodo migliore per farlo utilizza la moltiplicazione delle proporzioni, il che ci dà un'applicazione di uno dei metodi matematici descritti nella prima parte delle Istitutioni (per le operazioni con le proporzioni, vedi il n° 8 della Rubrica), ed un'illustrazione della loro utilità e del motivo per cui li abbiamo studiati. Lasciamo al lettore, come utile esercizio, il verificare il modo in cui la moltiplicazione di proporzioni possa essere utilizzata per suddividere la corda sonora.
Oltre alla moltiplicazione di intervalli, si applicano alla suddivisione della corda sonora anche i risultati della divisione, in particolare aritmetica ed armonica, anch'esse studiate nella prima parte. Una curiosità: per la divisione armonica, Z. descrive anche uno strumento atto a fornire divisioni in numero arbitrario: il mesolabio, strumento basato su teorie sviluppate da Eratostene e riproposte dal matematico Giorgio Valla.

La raffigurazione del mesolabio, o piuttosto lo schema utile a costruirne uno, così come appare nelle Istitutioni.

Ora che sappiamo come suddividere una corda sonora per produrre un numero arbitrario di intervalli, abbiamo la chiave per creare una scala musicale di riferimento nel nostro monocordo: si tratterà di porre sulla corda un numero di divisioni sufficiente ad individuare tutti i suoni della scala musicale. Dopodiché, per accordare uno strumento qualunque su una certa nota, basterà utilizzare la divisione corrispondente a quella nota sul monocordo, il quale dunque sarà usato a guisa di un vero e proprio "accordatore" (sull'uso del monocordo per l'accordatura, vedi il n° 8 della Rubrica). Il lettore deve avere sempre in mente, tuttavia, che la divisione di cui stiamo parlando, più che un mero fatto fisico, è principalmente un fatto matematico. Ciò che interessa è la definizione di una successione di numeri, ognuno dei quali individua in modo univoco la lunghezza di un tratto di corda che fornisce una precisa nota della scala.
Appurato questo, resta da vedere quale, fra le tante possibili, sarà la nostra scala di riferimento. Per fare questo, seguiremo Zarlino usando la teoria dei tetracordi e cercheremo di costruire coi tetracordi una scala musicale che abbia le seguenti caratteristiche:
1. conservi il maggior numero possibile di intervalli puri
2. individui in modo univoco ogni nota della scala medesima.
Qui il lettore si sorprenderà e non per la prima delle due condizioni, che è più che ovvia, ma per la seconda. Che significa "individuare in modo univoco" ogni nota della scala? Forse che l'uso degli intervalli puri porta ad ambiguità? Ebbene, è proprio ciò che succede. Vedremo nelle prossime puntate che, se si cerca di costruire una scala che utilizzi più intervalli puri che sia possibile, le cose vanno bene all'inizio, ma ad un certo punto non sappiamo più come accordare certe note, che risulteranno avere un valore se riferite ad un tetracordo ed un valore diverso se riferite ad un altro: note "doppie", dunque, distanti fra loro per un piccolo ma assai significativo intervallo detto comma.
Il tentativo di eliminare queste duplicità è all'origine di tutte le teorie moderne (cioè successive al mondo greco-latino) dell'accordatura. L'accordatura 'da pianoforte' oggi in uso non è altro che una fra le tante possibili soluzioni a questo antico problema.
© Gian Paolo Fagotto, 2002.

La costruzione dell'ottava a partire dai tetracordi, nel genere diatonico

Eccoci finalmente giunti all'uso dei tetracordi per la costruzione dell'ottava!
Se sovrapponiamo per una nota due tetracordi diatonici sintoni (che, come sappiamo, riproducono la successione di toni e semitoni propria delle successioni si-do-re-mi oppure, indifferentemente, mi-fa-sol-la), otteniamo lo schema seguente che, come è facile verificare, riproduce esattamente la successione di toni e semitoni che è propria della normale scala musicale costruita "sui tasti bianchi" da Si a La:

Per ottenere l'ottava completa da La a La, la teoria greca, così come la descrive Z., aggiungeva un La grave 'isolato' a distanza di un tono.
Per le ottave successive (la teoria greca aborriva però intervalli superiori alle due ottave), lo schema veniva ripetuto. Sicché, dopo i primi due tetracordi 'sovrapposti' della prima ottava (chiamati Hypaton e Meson) si aggiungeva un terzo tetracordo 'separato' dall'intervallo di tono La-Si (tetracordo Diezeugmenon che significa appunto 'separato', cioè non sovrapposto al precedente) seguito da un quarto tetracordo acuto (o Hyperboleon) sovrapposto al terzo.
La costruzione del Sibemolle avveniva invece iniziando un quinto tetracordo diatonico sintono (detto Synemennon) sul La centrale, ultima nota del secondo tetracordo, ed ottenendo perciò: La, Sibemolle, Do, Re. Questo quinto tetracordo coincideva per una nota (La) con il secondo tetracordo Meson e per due note (Do e Re) con il terzo tetracordo Diezeugmenon; restava come nota nuova il solo Sibemolle, che pertanto veniva aggiunto alla scala:

[Nota. Per andare un po' più a fondo dobbiamo svolgere alcune considerazioni un po' tecniche. In ogni ottava, i due tetracordi sovrapposti misurano esattamente una quarta pura e hanno esattamente la medesima struttura interna, essendo della stessa specie e genere. Possiamo dunque essere certi che tutte le quarte costruite sulle note comprese nei due tetracordi sovrapposti (cioè da un Si al La successivo) siano pure e quindi lo siano tutte le quinte di rivolto.
Questo ragionamento non fornisce invece alcuna garanzia per le quarte che comprendano il tono isolato, l'intervallo La-Si, cioè per le quarte Sol-do e La-re (si può dimostrare matematicamente - e la dimostrazione è lasciata al lettore per esercizio - che questo tono "isolato" La-Si può essere solo il tono sesquiottavo o tono maggiore, nella proporzione 9:8). È possibile dimostrare matematicamente (anche questa dimostrazione servirà al lettore come esercizio) che utilizzando il tetracordo diatonico sintono la quarta La-Re non può essere pura, mentre per fortuna non ci sono problemi con la quarta Sol-Do.
In realtà, solo usando il tetracordo Diatono entrambe queste quarte sarebbero pure, mentre con tutti gli altri tetracordi una di queste due quarte ha qualche problema, come mostra la tabella seguente:

tetracordo Molle tetracordo Sintono tetracordo Toniaco tetracordo Equale
La-re stretta La-re larga Sol-do stretta La-re larga

Perché allora non usare il tetracordo Diatono? Perché creerebbe più problemi di quanti ne risolva.
In effetti, è ben vero che fra le 5 specie di tetracordo diatonico solo il Diatono permette di costruire un'ottava diatonica (quindi non parliamo ancora di note alterate) in cui le quarte e le quinte di rivolto siano tutte pure (infatti, dato che in questa scala gli intervalli di tono sono tutti uguali al tono maggiore, la somma di qualunque coppia di toni e di un semitono dà lo stesso risultato dei tetracordi di partenza: una quarta pura). Se dunque lo scopo della scelta di un tetracordo fosse quello di massimizzare il numero di quarte e quinte pure, il Diatono, preferito secondo Z. dai Greci (Platone ed Aristotele), sarebbe il migliore.
Purtroppo, lo svantaggio è che in questa ed in tutte le altre specie di tetracordo escluso il Sintono le terze (e quindi le seste di rivolto) non potranno mai essere pure, il che per l'armonia rinascimentale è certamente un grave problema.
Se però si è disposti a rinunciare ad una sola quarta (La-Re, ed alla quinta di rivolto Re-La), il tetracordo diatonico Sintono fornirà anche quasi tutte le terze pure.
Una scala diatonica costruita col tetracordo diatonico sintono dunque avrà:
tutte le terze maggiori e le seste minori pure
tutte le terze minori e le seste maggiori pure, ad eccezione di Re-Fa, che risulta stretta, e di Fa-re
tutte le quarte e le quinte pure, ad eccezione di La-re e Re-La.
Questa situazione è possibile solo con questo tetracordo, a causa della sua struttura interna (si veda la sua descrizione matematica nel precedente n°11). Nessun altro tetracordo consente di salvare, oltre a quasi tutte le quarte, anche tutte le terze maggiori e quasi tutte le minori. Si tratta dunque di un eccellente compromesso fra le esigenze di avere quarte e quinte pure e nel contempo terze e seste altrettanto pure.
È dunque evidente l'estremo interesse del tetracordo Sintono per l'armonia rinascimentale, ed ecco perché Zarlino afferma che "questo è quello, che usano i Moderni nelle loro Harmonie" (cap. 16, pag. 83).]
Cominciamo ad avere un'idea delle spinose difficoltà implicate nella costruzione di una scala musicale efficiente. Già abbiamo visto che, se vogliamo intervalli di quarta, quinta, terza e sesta tutti puri, non c'è soluzione al problema. Abbiamo visto poi che la scelta del tetracordo diatonico sintono costituisce una discreta soluzione di compromesso, ma ci renderemo nelle prossime puntate che purtroppo anche questo tetracordo crea problemi quando si comincino ad introdurre le note dei 'tasti neri', già a cominciare dal Sibemolle costruito attraverso il tetracordo Synemennon. Si tratta del problema del comma, la cui soluzione dà luogo, come vedremo, ai cosiddetti temperamenti.
Prima però di addentrarci in queste considerazioni (e di sopportare le nuove inevitabili e già annunciate delusioni), ci occuperemo già dalla prossima puntata di capire a fondo la struttura matematica della scala costruita col tetracordo diatonico sintono.
© Gian Paolo Fagotto, 2002.

[Gli elementi del tetracordo sintono]

[Prima di riprendere l'esposizione del trattato di Zarlino, è utile svolgere alcune considerazioni sulla particolare scala che abbiamo costruito nella puntata precedente, utilizzando il tetracordo diatonico sintono.
Il tetracordo diatonico sintono contiene elementi apparentemente inspiegabili, come il semitono maggiore e soprattutto la distinzione tra tono maggiore e tono minore. Ricordo che, nei miei primi contatti con le scale musicali "antiche", ho sempre avuto una sensazione di assurdità al pensiero che la distanza, poniamo fra Do e Re dovesse essere diversa da quella fra Re e Mi. Credo che questa considerazione sia condivisibile da tutti coloro che hanno avuto con la musica un contatto primariamente melodico, come i cantanti.
È però importante capire che ognuno degli elementi della scala scaturisce da rapporti matematici assolutamente non casuali fra consonanze pure: ottava, quinta, quarta, terza maggiore e minore, sesta maggiore e minore.
Il tono maggiore nasce (parliamo sempre di intervalli puri):
come differenza matematica fra l'ottava e la somma di due quarte (per esempio: l'ottava DO-DO può essere vista come "somma" delle quarte DO-FA e SOL-DO, più il tono FA-SOL; se le due quarte sono entrambe pure (4:3), allora il tono FA-SOL deve essere necessariamente pari al tono sesquiottavo (9:8) o tono maggiore)
come intervallo matematicamente necessario per ottenere una quinta da una quarta
Il tono minore nasce:
come intervallo matematicamente necessario per ottenere una quarta da una terza minore
come intervallo matematicamente necessario per ottenere una sesta maggiore da una quinta.
A sua volta, il semitono maggiore nasce:

come intervallo matematicamente necessario per ottenere una quarta da una terza maggiore
come intervallo matematicamente necessario per ottenere una sesta minore da una quinta.
Questi tre elementi si rafforzano a vicenda grazie alle seguenti interrelazioni:
un tono maggiore più un semitono maggiore dà una terza minore
un tono maggiore più un tono minore dà una terza maggiore.
Il lettore può dimostrare da sé tutte queste proposizioni, utilizzando i concetti esposti nei primi numeri della Rubrica Musicologica dedicati alle Istitutioni, ed in particolare ricordando i concetti di somma e di sottrazione di proporzioni (vedi il n° 8 della Rubrica Musicologica). Consiglio al lettore di perdere un po' di tempo e di provare a dare effettivamente queste dimostrazioni, perché imparerà molto.
Semitono maggiore, tono maggiore e tono minore, pertanto, risultano matematicamen-te e in modo inevitabile da un'impostazione della scala musicale che intenda conservare il più possibile gli intervalli puri.
Non sorprende affatto, pertanto, che il tetracordo sintono sia il solo che consenta di costruire un'ottava diatonica in cui si possa ottenere la maggior parte delle consonanze pure, dato che questo tetracordo contiene in sé tutti gli elementi differenziali presenti nei rapporti fra gli intervalli consonanti puri: semitono maggiore, tono maggiore e tono minore. Un'alterazione dell'ordine di questi elementi nella scala (scambiando di posto i due toni fra loro), tra l'altro, porterebbe a diminuire la quantità totale di consonanze pure ottenibili.
Per queste ragioni l'ottava costruita col tetracordo sintono appare di gran lunga la più razionale, a patto che:
si sia interessati all'armonia più che alla melodia
i repertori affrontati siano realmente diatonici, con nessuna o limitate concessioni a modulazioni su altre tonalità
eventuali cromatismi abbiano funzioni di mera 'coloritura' sonora, e siano collocati esclusivamente in certi luoghi dell'armonia.]
Prima di dare appuntamento al lettore alla prossima puntata delle nostre riflessioni sulle Istitutioni Harmoniche, riteniamo utile fornirgli un prospetto riepilogativo della struttura della scala diatonica finora discussa:

© Gian Paolo Fagotto, 2002.

versione della pagina: 6, ultima modifica: 11 Aug 2017, 20:20 (206 days fa)
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